Home Home Information Contact Site Map Library English Site
بخش‌های اصلی
صفحه‌ی اصلی::
آموزش علوم::
آموزش ریاضی::
آموزش جغرافیا::
آموزگار حرفه‌ای::
کتاب آموزگار::
تجربه‌های سبز::
آموزش زیست‌شناسی::
یادداشت‌های آموزشی::
پسند شما::
::
جستجو در پایگاه

جستجوی پیشرفته
دریافت اطلاعات پایگاه
نشانی پست الکترونیک خود را برای دریافت اطلاعات و اخبار پایگاه، در کادر زیر وارد کنید.
آخرین مطالب بخش
:: سرشت علم و جایگاه آن در استانداردهای آموزش علوم
:: چرا تاریخ علم مهم است؟
:: تو باید جای من باشی
:: چگونه کلاس درس را اداره کنیم
:: آموزش علوم با نقاشی
:: طبیعت در شهر، شهر در طبیعت
:: شاهزاده‌ی عوضی
آخرین مطالب سایر بخش‌ها
:: بیایید باکتری بخوریم
:: یخچال ایرانی، نوآوری ایرانی
:: چرخه سوخت هسته‌ای
:: ناسا پایین‌ترین دمای جهان را می‌آفریند
:: 9 نکته درباره بچه‌ها که ممکن است ندانید
:: جلوگیری از سرطان با غذاهای سبز
:: گرمای لپ‌تاپ بر قدرت باروری اثری ندارد
:: مجموعه‌ی 6 جلدی گفت‌وگو درباره‌ی انرژی منتشر شد
:: نقش کتابخانه‌های دیجیتال چندرسانه‌ای در پیشرفت آموزش
:: چه چیزی دختران را دختر می‌سازد؟
سالارکتاب
سالارکتاب
با کتاب‌های سالاری آشنا شوید

ghatreh_in_jazireh

:: نقش شهود در آموزش ریاضی ::
 | تاریخ ارسال: ۱۳۸۵/۱۰/۲۴ | نویسنده: آقاي میرشهرام صدر | 

وقتی کلاس اول دبیرستان بودم، دبیر درس هندسه قبل از این که قضیه ها و مسائل را اثبات کند یا حتی صورت قضیه یا مسأله ای را بازگو کند، ابتدا شکلی رسم می کرد و تمام توضیحات خود را روی شکل با تأمل بیان می کرد. سپس از ما می خواست که در تکمیل شکل یا نتیجه گیری ها به او کمک کنیم و ضمن کار، بدون این که اثبات دقیق را بیان کند ، مرتب سؤال می کرد تا بچه ها با مشاهده شکل با مسأله درگیر شوند. در مرحله آخر صورت مسأله یا قضیه را روی تخته می نوشت و از بچه ها می خواست به کمک مطالبی که به صورت شهودی درک کرده بودند، اثبات دقیقی برای آن ارائه دهند.

بدون شک شما همکار عزیز هم امروزه در تدریس مطالب ریاضی از این روش استفاده می کنید تا دانش آموزانتان درک مقدماتی از مفهوم پیدا کنند و سپس رابطه ها و تعریف های محض ریاضی را برای آنان مطرح می کنید . شهود را می توان دانش غریزی یا احساسی بدون استدلال دانست که اثبات دقیق ریاضی محسوب نمی شود ، بلکه به ما کمک می کند تا مفاهیم ریاضی را بهتر بفهمیم . شهود به ما کمک می کند مفاهیم ریاضی را به صورت ملموس تری در ذهن دانش آموزان بنشانیم به طوری که در به خاطر سپردن تعریف ها و فرمول ها و استفاده از آنها دچار سردرگمی و خطا نشوند.

در این مقاله ابتدا اندکی درباره « تاریخ تابع » مطالبی را بیان می کنیم. سپس با استفاده از مدل ها و شکل هایی، مفهوم های تابع ، ترکیب دو تابع ، تابع وارون ، حد ، مشتق پذیری ، تابع صعودی ، تابع نزولی و اکسترمم های تابع را به صورت شهودی ارائه خواهیم کرد.

تاریخ تابع

تکامل مفهوم تابع حدود دو قرن به طول انجامید . دیریکله ، ریاضی دان آلمانی( 1859 – 1805 م )، در اواسط قرن نوزدهم تعریف امروزی تابع را به صورتی روشن بیان کرد و گفت : « y تابعی از متغیر x در بازه a < x < b است؛ به شرطی که هر مقدار x از این بازه با مقدار معین و مشخص از y ‌متناظر باشد ؛ البته، این تناظر می تواند به هر ترتیب دلخواهی باشد.»

پیش از این تعریف ، برای نخستین بار ، مقدار متغیر ( تابع ) در قرن هفدهم و در نوشته های هندسی فرما ( 1655 – 1601 م ) و دکارت ، ریاضیدان فرانسوی ، مطرح شد .برای مثال ، دکارت در کتاب هندسه خود مفهوم تابع را به عنوان " تغییر عرض در نتیجه تغییر طول " بررسی می کند.

در قرن هجدهم یوهان برنولی ( 1748- 1667 م ) دیدگاه جدیدی را نسبت به تابع مطرح می کند . او می گوید : « تابع به عنوان دستوری است که مقدار یک متغیر را با مقدار متغیر دیگر در نظر می گیرد.»

در سال 1748 لئوناردا ویلر ، شاگرد یوهان برنولی ، نماد f) Function) را برای تابع در نظر گرفت و آن را از دیدگاه تحلیلی به صورت زیر مطرح کرد:

« تابع یک متغیر ، عبارت است از یک عبارت تحلیلی که به نحوی از این مقدار متغیر و از عددها یا مقدارهای ثابت تشکیل شده است.»

بنابراین، ریاضیدانان پس از گذشت دو قرن توانستند مفهوم تابع را به صورت امروزی آن کامل کنند. پس چه بهتر است ما معلمان این مفهوم را با حوصله بیشتری برای دانش آموزان مطرح کنیم. استدلال های شهودی تا حدود زیادی می توانند به ما کمک کنند.

معرفی مفهوم تابع با شهود

همان طور که گفتیم تعریف تابع به صورت امروزی بین ریاضیدانان رایج نبود بلکه همه آنان تصویر ذهنی مشترکی از این مفهوم داشتند. چه بهتر که برای تدریس مفهوم تابع از آن تصور ذهنی مشترک ریاضی دان ها استفاده کنیم و دانش آموزان را مانند ریاضیدان ها با مفهوم تابع درگیر کنیم تا در مرحله آخر خودشان به تعریف امروزی تابع برسند.

تصور ذهنی مشترک همه ریاضیدان ها این بود که تابع مانند یک ماشین عمل می کند ، به طوری که یک x را از ورودی می گیرد و تنها یک مقدار y از خروجی بیرون می دهد. پس می توان ابتدا از مدل زیر برای بیان مفهوم تابع استفاده کرد:

AWT IMAGE

چون ماشین f عملی را روی x انجام می دهد، می توان عمل انجام شده روی x را با (f(x نمایش داد . بنابراین می توان در خروجی به جای y از نماد (f (x استفاده کرد:

AWT IMAGE

مثال روزمره از تابع

قیمت نان را معمولا بر حسب قیمت هر کیلوگرم آرد محاسبه می کنند . جدول 1 قیمت گذاری نان را در سال های 1358 تا 1382 نشان می‌دهد:

سال
(ریال )قیمت آرد
(ریال)قیمت نان
1357
50
10
1362
100
20
1366
200
40
1370
500
100
1374
1000
200
1378
1500
300
1382
2000
400

بیشتر کاربردهای ریاضی مستلزم استفاده از عددها و متغیرها برای بیان رابطه های موجود در دنیای واقعی اطراف ما و زندگی روزمره است . با توجه به جدول 1، فرض کنیم قیمت هر کیلوگرم آرد در سال های مشخص شده x ریال و قیمت نان در سال متناظر با آن y ریال باشد . در این صورت جدول 1رابطه ای را بین x و y بیان می کند . این رابطه ، نمونه ای از تابع ریاضی است . زیرا برای هر x ( قیمت هر کیلوگرم آرد ) فقط یک قیمت متناظر y ( قیمت نان ) وجود دارد که برای خرید هر عدد نان پرداخت می شود . در حقیقت جدول بالا قاعده ای را برای محاسبه قیمت نان در سال های مختلف نشان می دهد . با کمی دقت در این جدول می توانید رابطه x ( قیمت هر کیلوگرم آرد ) و y ( قیمت هر عدد نان ) را بیان کنید . این رابطه، قاعده ای را نشان می دهد که ضابطه تابع نامیده می شود.

حالا آیا می توانید حدس بزنید که اگر در سال 1386 قیمت آرد 3 هزار ریال باشد، قیمت هر عدد نان در آن سال چقدر خواهد بود ؟ یا اگر قیمت نان در یک سال 5 ریال باشد ، قیمت آرد در آن سال چقدر خواهد بود ؟ آیا می توانید رابطه x و y را با نماد ریاضی بنویسید ؟

تعریف تابع قیمت نان

تابع f ، قاعده ای است که روی مجموعه D تعریف می شود به طوری که به هر x متعلق به D ، یک عدد مشخص f(x) را نسبت می‌دهد.

عدد f(x) ، مقدار تابع f را به ازای x نشان می دهد . کلمه قاعده که در تعریف بالا به آن اشاره شد،‌می تواند با یک جدول ، ‌یک فرمول ، یک نمودار یا حتی با یک جمله مشخص شود. به طوری که با استفاده از آن ،‌ مقدار f(xی x داده شده مشخص می شود . معمولا از x برای نشان دادن متغیر و از f برای نشان دادن تابع استفاده می کنیم.

همچنین می توانیم از حروف دیگری که دوست داریم یا در وضعیت خاصی مناسب تر است، استفاده کنیم.

در تابع قیمت نان که ذکر کردیم، مجموعه D از همه مقادیر ممکن برای قیمت هر کیلوگرم آرد در سال های مختلف تشکیل شده است:

D = {50، 100، 200، 1000، 1500، 2000}  

که آن ها را با x مشخص کردیم . با معلوم بودن x در ستون دوم جدول، به راحتی می توان قیمت متناظر هر عدد نان یعنی f(x) را از ستون سوم پیدا کرد . بنابراین داریم :

10= (50) f

20= (100) f

40= (200) f

100= (500) f

200= (1000) f

300= (1500) f

400= (2000) f

با توجه به برابری های بالا ملاحظه می کنید که قیمت نان در حقیقت یک پنجم قیمت آرد است و این همان قاعده ای است که قیمت گذاری هر عدد نان را بر حسب قیمت هر کیلوگرم گندم نشان می دهد ، بنابراین : x 5/1 = f(x. به این قاعده، ضابطه تابع گفته می شود. می توانیم برای نشان دادن تابع قیمت نان ، اطلاعات جدول 1را با نمودار زیر نشان دهیم .

AWT IMAGE

در زندگی روزمره می توان مثال های فراوان دیگری را برای بیان مفهوم تابع بیان کرد . برای مثال نمره درس ریاضی دانش آموزان ، تابعی از مدت زمان مطالعه آنها است .

مثال زیست شناختی تابع

وزن طبیعی هر شخص می تواند تابعی از طول قد همان شخص باشد ( مجذور قد بر حسب متر * 22= وزن طبیعی بر حسب کیلوگرم ) . مدت زمان ترمیم یک زخم در بدن ، تابعی از ساخت سلول های جدید و ساخت سلول های جدید تابعی از پروتئین های لازم برای ساخت سلول هاست .

مثال ریاضی تابع

مساحت ( A ) دایره ای به شعاع r از قاعده A= p r 2 به دست می آید :

AWT IMAGE

به طور معمول این فرمول را با نماد تابعی به صورت A(r)= p r 2 می نویسیم تا مشخص شود ، مساحت دایره A ، به شعاع دایره r وابسته است . هر چه شعاع بزرگ تر شود ، مساحت بزرگ تر می شود . بنابراین شعاع، هر عدد دلخواه نامنفی می تواند باشد ، اما مساحت همواره به شعاع دلخواه مستقل وابسته است . از این رو، شعاع یعنی متغیر r را در این تابع متغیر مستقل و A را متغیر وابسته می گوییم .

مثال فیزیکی تابع

اگر سنگ ریزه ای از بالای برجی به طرف پایین رها شود و شتاب جاذبه 9.8/s 2 = g باشد ، در این صورت سرعت( به طرف پایین ) V بعد از t ثانیه و فاصله پیموده شده d از موقع رها شدن پس از t ثانیه ، از رابطه های زیر به دست می آید :

V(t)= 9.8t

d(t)= 4.9t 2

همان طور که ملاحظه می کنید V و d هر دو تابع هایی از t هستند . در این دو تابع t متغیر مستقل و v و d هر دو متغیرهای وابسته به t هستند .

ترکیب دو تابع

AWT IMAGE

تابع وارون

AWT IMAGE

تابه وارون f تابعی است که عمل f را خنثی می کند ، پس -1 (x)=x fof

AWT IMAGE

مثال : تابع وارون تابع ها باضابطه های زیر را به دست آورید .

AWT IMAGE

حد تابع در یک نقطه

حد تابع در یک نقطه را در دو حالت بررسی می کنیم .

1- تابع در نقاط توپر دارای حد است فرض کنیم ( x,y ) A نقطه ای از نمودار تابه با ضابطه y=f(x) باشد ، حد تابع f در نقطه ای به طول x برابر با y است .

AWT IMAGE

2- وضعیت حد تابع در نقاط توخالی به صورت زیر است :

الف ) اگر نمودار f در سمت چپ نقطه توخالی موجود باشد ، آن گاه تابع در این نقطه دارای حد چپ است .

ب ) اگر نمودار تابع f در سمت راست نقطه توخالی موجود باشد ، آن گاه تابع در این نقطه دارای حد راست است .

ج) اگر نمودار تابع در دو طرف نقطه توخالی موجود باشد ، یعنی نمودار تابع در نقطه توخالی بریدگی نداشته باشد ، آن گاه تابع در این نقطه دارای حد راست و چپ برابر است که در این حالت می گوییم ، تابع در این نقطه دارای حد است .

AWT IMAGE

پیوستگی تابع در یک نقطه

نمودار تابع y=f(x را در نظر  می‌گیریم:

• نقطه توپر را مقدار تابع می گوییم.

• اگر حد چپ و مقدار در یک نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تا بع در آن نقطه پیوستگی چپ دارد.

• اگر حد راست و مقدار تابع در یک نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تابع در آن نقطه پیوستگی راست دارد.

• اگر مقدار تابع و حد تابع در یک نقطه بر هم منطبق شوند ، آن گاه تابع در آن نقطه پیوسته است.

مشتق پذیری تابع در یک نقطه

تابع f در x مشتق پذیر است ، هر گاه:

الف ) تابع f در x پیوسته باشد.

ب ) در نقطه x فقط و فقط یک خط مماس بر منحنی تابع f وجود داشته باشد . (این خط مماس باید موازی محور عرض ها نباشد)

سؤال : تابع f در چه نقاطی مشتق پذیر نیست ؟

الف ) در نقاطی که تابع در آن ها ناپیوسته باشد .

ب ) در نقاطی که دو خط مماس بر منحنی f وجود داشته باشد. ( نقطه زاویه دار منحنی )

AWT IMAGE

ج ) در نقاطی که خط مماس بر منحنی f موازی محور عرض ها باشد.

AWT IMAGE

تابع اکیدا صعودی و نزولی

تابع پیوسته f را وقتی اکیدا صعودی می گوییم که هر گاه روی شکل از چپ به راست حرکت کنیم ، همیشه به طرف بالا برویم.

AWT IMAGE

تابع پیوسته f را اکیدا نزولی گوییم که هر گاه رو شکل از سمت چپ به راست حرکت کنیم ، همیشه به طرف پایین برویم.

AWT IMAGE

تابع صعودی و نزولی

تابع پیوسته f را وقتی صعودی گوییم که هر گاه روی شکل از سمت چپ به راست حرکت کنیم ، همیشه به طرف بالا برویم یا موازی محور x ها حرکت کنیم .

AWT IMAGE

تابع یوسته f را وقتی نزولی می گوییم که هر گاه روی شکل از سمت چپ به راست حرکت کنیم ، همیشه به طرف پایین بر.یم یا موازی محور x ها حرکت کنیم.

AWT IMAGE

اکسترمم نسبی تابع

• نقطه ای به طول x متعلق به D 1 را طول نقطه ماکزیمم نسبی تابع f گوییم ، هر گاه:

الف ) در همسایگی x نمودار تابع f موجود باشد.

ب ) عرض نقطه x بزرگ تر یا مساوی با عرض نقطه همسایگی باشد.

AWT IMAGE

• نقطه ای به طول x متعلق به D 1 را طول نقطه می نیمم نسبی تابع f گوییم ، هر گاه:

الف ) در همسایگی x نمودار تابع f موجودد باشد.

ب ) عرض نقطه x کوچک تر یا مساوی با عرض نقطه همسایگی باشد.

AWT IMAGE

اکسترمم مطلق تابع

بالاتر نقطه نمودار تابع را ماکزیمم مطلق و پایین ترین نقطه نمودار f را می نیمم مطلق تابع می‌وییم.

تذکر : اگر اکسترمم مطلق ،‌همسایگی داشته باشد ، آن گاه اکسترمم نسبی تابع هم خواهد بود.

AWT IMAGE


 آن چه به ذهن دانش آموزان می افشانید به حساب نمی آید، بلکه آن چه در ذهنشان کاشته می شود به حساب می آید.

Linda Conway

  
تسهیلات مطلب
سایر مطالب این بخش سایر مطالب این بخش
نسخه قابل چاپ نسخه قابل چاپ
ارسال به دوستان ارسال به دوستان


CAPTCHA
::
دفعات مشاهده: 16455 بار   |   دفعات چاپ: 5233 بار   |   دفعات ارسال به دیگران: 264 بار   |   0 نظر
For Teachers
Persian site map - English site map - Created in 0.08 seconds with 56 queries by YEKTAWEB 3921